در این صفحه، به حل دقیق مسئله‌ی توپ که از ارتفاع 16 متری رها می‌شود می‌پردازیم. هدف ما محاسبه‌ی مسافت کل طی شده توسط توپ تا لحظه‌ی برخورد سوم با زمین است. این تحلیل شامل توضیحات علمی کامل، فرمول‌های ریاضی و استدلال‌های منطقی خواهد بود.
یک توپ از ارتفاع 16 متری رها می‌شود. پس از برخورد با زمین، به اندازه‌ی نصف ارتفاع قبلی خود بالا می‌آید. ما باید مسافت کل طی شده توسط توپ تا سومین برخورد با زمین را محاسبه کنیم.
برای حل این مسئله، می‌توانیم از مفهوم مجموع تصاعد هندسی استفاده کنیم. توپ در هر بار برخورد با زمین، نصف ارتفاع قبلی را بالا می‌آید. بنابراین، ارتفاعی که توپ پس از هر برخورد به دست می‌آورد، یک تصاعد هندسی با نسبت مشترک 1/2 است.
مسافت کل طی شده تا برخورد سوم برابر است با:
16 + 8 + 8 + 4 + 4 = 40 متر 💯
می‌توانیم این مسئله را به صورت یک تصاعد هندسی نیز حل کنیم. مجموع n جمله اول یک تصاعد هندسی با جمله اول a و نسبت مشترک r از فرمول زیر محاسبه می‌شود:
Sn = a(1 - rn) / (1 - r)
در این مسئله، a = 16 و r = 1/2. ما می‌خواهیم مسافت کل طی شده تا برخورد سوم را محاسبه کنیم. توجه داشته باشید که توپ در هر بار بالا رفتن و پایین آمدن، یک دور کامل را طی می‌کند. بنابراین، برای رسیدن به برخورد سوم، باید سه بار بالا رفتن و سه بار پایین آمدن را در نظر بگیریم.
مسافت کل = 16 + 2 * (8 + 4) = 16 + 2 * 12 = 16 + 24 = 40 متر
| مرحله | نوع حرکت | ارتفاع (متر) | مسافت طی شده (متر) |
|---|---|---|---|
| 1 | سقوط اول | 16 | 16 |
| 2 | صعود اول | 8 | 8 |
| 3 | سقوط دوم | 8 | 8 |
| 4 | صعود دوم | 4 | 4 |
| 5 | سقوط سوم | 4 | 4 |
در این مسئله، فرض کردیم که هیچ اتلاف انرژی‌ای در اثر برخورد توپ با زمین وجود ندارد. در واقعیت، بخشی از انرژی توپ در هر بار برخورد به صورت گرما و صدا تلف می‌شود. بنابراین، ارتفاعی که توپ پس از هر برخورد به دست می‌آورد، کمتر از نصف ارتفاع قبلی خواهد بود.
همچنین، مقاومت هوا نیز می‌تواند بر حرکت توپ تأثیر بگذارد. در این مسئله، مقاومت هوا را نادیده گرفتیم.
محاسبه‌ی مسیر حرکت اجسام پرتابه مانند توپ، در زمینه‌های مختلفی کاربرد دارد. به عنوان مثال، در ورزش‌ها (مانند بسکتبال، فوتبال و تنیس)، مهندسان و مربیان از این محاسبات برای بهبود عملکرد بازیکنان استفاده می‌کنند.
همچنین، در طراحی موشک‌ها و ماهواره‌ها، محاسبه‌ی دقیق مسیر حرکت آن‌ها بسیار مهم است. این محاسبات نیازمند در نظر گرفتن عوامل مختلفی مانند گرانش زمین، مقاومت هوا و نیروی پیشرانه است.