✨حل مسئله‌ی یافتن مقدار 'a' در معادله درجه دوم✨

🧑‍🏫

سلام دوستان 👋، امروز می‌خوایم با هم یک مسئله‌ی ریاضی رو حل کنیم. این مسئله مربوط به معادلات درجه دوم هست و هدف ما پیدا کردن مقدار مجهول 'a' در یک معادله مشخصه. این مسئله برای دانش‌آموزان پایه نهم و بالاتر مفیده و سعی می‌کنیم توضیحات رو طوری بدیم که همه بتونن به راحتی اون رو درک کنن. 🚀

📝صورت مسئله

اگر q = -5 جواب معادله (q² + aq + 8) - (2q² - 4aq + 3) = 0 باشد، آنگاه مقدار a برابر با چیست؟ 🤔

💡روش اول: ساده‌سازی و حل مستقیم

اولین کاری که باید انجام بدیم اینه که معادله رو ساده کنیم. برای این کار، پرانتزها رو باز می‌کنیم و جملات مشابه رو با هم ترکیب می‌کنیم. 🤓

(q² + aq + 8) - (2q² - 4aq + 3) = 0

q² + aq + 8 - 2q² + 4aq - 3 = 0

(q² - 2q²) + (aq + 4aq) + (8 - 3) = 0

-q² + 5aq + 5 = 0

حالا که معادله ساده شد، می‌تونیم مقدار q = -5 رو جایگزین کنیم و معادله رو حل کنیم. 🤩

-(-5)² + 5a(-5) + 5 = 0

-25 - 25a + 5 = 0

-20 - 25a = 0

-25a = 20

a = -20/25

a = -4/5

💡روش دوم: استفاده از فرمول‌های معادله درجه دوم

می‌تونیم این مسئله رو با استفاده از فرمول‌های مربوط به معادلات درجه دوم هم حل کنیم. معادله‌ی ما بعد از ساده‌سازی به شکل -q² + 5aq + 5 = 0 دراومد. برای اینکه بتونیم از فرمول‌ها استفاده کنیم، بهتره معادله رو ضربدر -1 کنیم تا ضریب q² مثبت بشه: 🤓

q² - 5aq - 5 = 0

حالا می‌تونیم از فرمول کلی حل معادله درجه دوم استفاده کنیم:

$$q=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

در معادله‌ی ما، a = 1، b = -5a و c = -5. حالا می‌تونیم این مقادیر رو در فرمول جایگزین کنیم:

q = (5a ± √((-5a)² - 4 * 1 * (-5))) / 2

q = (5a ± √(25a² + 20)) / 2

می‌دونیم که q = -5، پس:

-5 = (5a ± √(25a² + 20)) / 2

-10 = 5a ± √(25a² + 20)

حالا باید معادله رو حل کنیم. برای این کار، ابتدا √(25a² + 20) رو به یک طرف معادله منتقل می‌کنیم:

√(25a² + 20) = -10 - 5a

حالا دو طرف معادله رو به توان دو می‌رسونیم:

25a² + 20 = (-10 - 5a)²

25a² + 20 = 100 + 100a + 25a²

حالا می‌تونیم جملات مشابه رو حذف کنیم:

20 = 100 + 100a

-80 = 100a

a = -80/100

a = -4/5

💡روش سوم: استفاده از روابط بین ریشه‌ها و ضرایب

این روش کمی پیشرفته‌تره، اما می‌تونه در بعضی موارد سریع‌تر باشه. در یک معادله درجه دوم به شکل ax² + bx + c = 0، مجموع ریشه‌ها برابر با -b/a و حاصل ضرب ریشه‌ها برابر با c/a هست. اما این روش برای حل این مسئله مناسب نیست چون ما فقط یک ریشه داریم.

📊جدول مقایسه‌ی روش‌ها

روش	مزایا	معایب
ساده‌سازی و حل مستقیم	سریع و آسان برای این مسئله‌ی خاص	ممکنه برای معادلات پیچیده‌تر مناسب نباشه
استفاده از فرمول‌های معادله درجه دوم	قابل استفاده برای هر معادله درجه دوم	محاسبات ممکنه طولانی و پیچیده باشه
استفاده از روابط بین ریشه‌ها و ضرایب	در بعضی موارد می‌تونه سریع باشه	نیاز به داشتن دو ریشه داره و برای این مسئله مناسب نیست

📚اصطلاحات مهم📚

• معادله درجه دوم: یک معادله‌ی ریاضی که در اون بالاترین توان متغیر برابر با 2 هست.
• ریشه: مقداری از متغیر که باعث میشه معادله برابر با صفر بشه.
• ضرایب: اعدادی که در کنار متغیرها قرار دارن و نشون‌دهنده‌ی میزان تاثیر اون متغیرها بر مقدار معادله هستن.