مسئله احتمال و آمار: تشخیص آزمایشگاهی 🧪

توضیحات

در این روش، مسئله را با تعریف متغیرها و تشکیل معادلات ریاضی حل می‌کنیم. فرض می‌کنیم درصد نمونه‌های مثبت تشخیص داده شده در ابتدا x باشد. سپس بر اساس اطلاعات مسئله، معادلات را تشکیل می‌دهیم و مقدار x را محاسبه می‌کنیم.

حل

1. فرض کنید تعداد کل نمونه‌ها برابر با 100% باشد.
2. در ابتدا، x درصد از نمونه‌ها مثبت تشخیص داده می‌شوند.
3. از این x درصد، 10% دوباره آزمایش می‌شوند، یعنی 0.1x درصد از کل نمونه‌ها دوباره آزمایش می‌شوند.
4. طبق مسئله، 40% از نمونه‌ها نیاز به آزمایش مجدد دارند. بنابراین: $$0.1x=0.4$$
5. با حل معادله، مقدار x به دست می‌آید: $$x=\frac{0.4}{0.1}=4$$

بنابراین، در ابتدا 4% از نمونه‌ها مثبت تشخیص داده شدند. 😮

توضیحات

در این روش، مسئله را با استفاده از استدلال منطقی و بدون نیاز به تشکیل معادلات ریاضی حل می‌کنیم. بر اساس اطلاعات مسئله، سعی می‌کنیم رابطه بین درصد نمونه‌های مثبت تشخیص داده شده در ابتدا و درصد نمونه‌هایی که نیاز به آزمایش مجدد دارند را پیدا کنیم.

حل

1. می‌دانیم که 10% از نمونه‌های مثبت تشخیص داده شده دوباره آزمایش می‌شوند.
2. این 10% برابر با 40% کل نمونه‌ها است که نیاز به آزمایش مجدد دارند.
3. بنابراین، اگر 10% از نمونه‌های مثبت، معادل 40% کل نمونه‌ها باشد، درصد نمونه‌های مثبت در ابتدا باید برابر با: $$\frac{40}{10}=4$$

بنابراین، در ابتدا 4% از نمونه‌ها مثبت تشخیص داده شدند. 🎉

توضیحات

در این روش، مسئله را با استفاده از یک نمودار درختی نمایش می‌دهیم و احتمال‌های مختلف را محاسبه می‌کنیم. نمودار درختی به ما کمک می‌کند تا تمام مسیرهای ممکن را در نظر بگیریم و به جواب درست برسیم.

حل

• شاخه‌ی اول: نمونه‌ها مثبت تشخیص داده می‌شوند (احتمال 50% یا 0.5).
• شاخه‌ی دوم: از نمونه‌های مثبت، 10% دوباره آزمایش می‌شوند (احتمال 10% یا 0.1).
• طبق مسئله، 40% از کل نمونه‌ها نیاز به آزمایش مجدد دارند.

با توجه به نمودار درختی و اطلاعات مسئله، می‌توانیم نتیجه بگیریم که: $$0.5\times 0.1=0.4$$

این معادله نشان می‌دهد که 5% از کل نمونه‌ها دوباره آزمایش می‌شوند، اما طبق مسئله، 40% نیاز به آزمایش مجدد دارند. بنابراین، باید درصد اولیه مثبت تشخیص داده شده را تغییر دهیم تا این معادله درست شود.

با حل معادله: $$x\times 0.1=0.4$$

به دست می‌آوریم: x = 4%.

بنابراین، در ابتدا 4% از نمونه‌ها مثبت تشخیص داده شدند. 🤩