اکسترمم‌های نسبی تابع : f(x) = (1/3)x³ - x² - 3x + 2/3

خب، بریم سراغ این مسئله! اول از همه باید ببینیم سوال چی می‌خواد و بعد قدم به قدم حلش کنیم.

این سوال درباره یه چیزی به اسم "اکسترمم نسبی" یه تابع ریاضیه. حالا اکسترمم نسبی چیه؟ 🤔

تصور کن داری توی یه مسیر پر پیچ و خم راه میری. بعضی جاها سربالایی هست، بعضی جاها سرپایینی، و بعضی جاها هم صافه. اون جاهایی که مسیرت از سربالایی به سرپایینی یا برعکس تغییر می‌کنه (یعنی یه نقطه بالا یا پایین)، میشه "اکسترمم نسبی". توی ریاضی هم همین‌طوره! ما دنبال نقاطی هستیم که تابع یه مقدار حداکثر یا حداقل نسبت به اطرافش داشته باشه.

تابع ما اینه:

f(x) = \frac{1}{3} x³ - x² - 3x + \frac{2}{3}

برای پیدا کردن این اکسترمم‌ها، باید چند تا کار انجام بدیم:

مشتق تابع رو حساب کنیم.
مشتق رو برابر صفر قرار بدیم و معادله رو حل کنیم. ریشه‌های این معادله همون نقاطی هستن که ممکنه اکسترمم داشته باشیم.
با استفاده از مشتق دوم، بررسی کنیم که هر کدوم از این نقاط واقعاً اکسترمم هستن یا نه.

قدم اول: حساب کردن مشتق تابع

مشتق یه تابع بهمون میگه که اون تابع چقدر سریع تغییر می‌کنه. مثل سرعت ماشین! اگه سرعتت ثابته، مشتق صفره. ولی اگه داری گاز میدی، مشتق مثبته (یعنی مقدار تابع داره زیاد میشه) و اگه داری ترمز می‌گیری، مشتق منفیه (یعنی مقدار تابع داره کم میشه).

برای حساب کردن مشتق این تابع، از یه سری قانون استفاده می‌کنیم:

مشتق xⁿ برابر n * x^(n-1) هست.
مشتق یه عدد ثابت صفره.

حالا بریم سراغ محاسبه مشتق:

f'(x) = \frac{d}{dx} [\frac{1}{3} x³ - x² - 3x + \frac{2}{3}]
    = \frac{1}{3} * 3x² - 2x - 3 + 0
    = x² - 2x - 3

قدم دوم: پیدا کردن نقاط بحرانی

نقاط بحرانی همون جاهایی هستن که مشتق تابع صفر میشه یا تعریف نشده. توی این سوال، مشتق ما یه عبارت جبریه و همیشه تعریف شده، پس فقط باید دنبال جاهایی بگردیم که برابر صفره.

x² - 2x - 3 = 0

این یه معادله درجه دوئه. برای حلش می‌تونیم از فرمول کلی حل معادلات درجه دو استفاده کنیم:

x = \frac{-b ± \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2 a}

توی این معادله، a=1، b=-2 و c=-3 هستن. پس:

x = \frac{2 ± \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 * 1 * -3}}{2 * 1} = \frac{2 ± \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 ± \sqrt{16}}{2} = \frac{2 ± 4}{2}

این دو تا جواب بهمون میده:

x₁ = (2 + 4) / 2 = 3
x₂ = (2 - 4) / 2 = -1

پس نقاط بحرانی ما x=3 و x=-1 هستن.

قدم سوم: بررسی نوع اکسترمم با استفاده از مشتق دوم

حالا باید ببینیم این نقاط، واقعاً اکسترمم هستن یا نه. برای این کار، مشتق دوم تابع رو حساب می‌کنیم:

f''(x) = \frac{d}{dx} (x² - 2x - 3)
    = 2x - 2

حالا مقدار مشتق دوم رو توی هر کدوم از نقاط بحرانی حساب می‌کنیم:

برای x=3:

f''(3) = 2 * 3 - 2 = 4

چون f''(3) > 0، پس x=3 یه نقطه مینیمم نسبی هست. یعنی توی این نقطه تابع یه مقدار حداقل نسبت به اطرافش داره.

برای x=-1:

f''(-1) = 2 * -1 - 2 = -4

چون f''(-1) < 0، پس x=-1 یه نقطه ماکزیمم نسبی هست. یعنی توی این نقطه تابع یه مقدار حداکثر نسبت به اطرافش داره.

پاسخ نهایی:

تابع f(x) = (1/3)x³ - x² - 3x + 2/3 در x=3 یه مینیمم نسبی و در x=-1 یه ماکزیمم نسبی داره.

توضیح اصطلاحات

تابع: یه ماشین که یه ورودی می‌گیره و یه خروجی تحویل میده. مثلاً اگه ورودی عدد 2 باشه، ممکنه خروجی عدد 5 بشه.
اکسترمم نسبی: همون نقطه بالا یا پایین توی مسیر پر پیچ و خم! یعنی جایی که تابع یه مقدار حداکثر یا حداقل نسبت به اطرافش داره.
مشتق: یه ابزار ریاضی که بهمون میگه تابع چقدر سریع تغییر می‌کنه. مثل سرعت ماشین.
نقاط بحرانی: جاهایی که مشتق تابع صفر میشه یا تعریف نشده. این نقاط ممکنه اکسترمم باشن.
مشتق دوم: مشتق مشتق اول! بهمون کمک می‌کنه بفهمیم یه نقطه بحرانی، ماکزیمم هست یا مینیمم.

سوالات مشابه:

1. اکسترمم‌های نسبی تابع f(x) = x³ - 6x² + 9x + 1 را پیدا کنید.
2. اکسترمم‌های نسبی تابع f(x) = 2x³ + 3x² - 12x + 5 را تعیین کنید.
3. آیا تابع f(x) = x² + 4x + 7 دارای اکسترمم نسبی است؟ اگر بله، کجا قرار دارد؟