اگر (۳، ۲-) یک رأس مربع و معادله‌ی یک ضلع آن ۲y + ۳x = -۴ باشد، مساحت این مربع چند واحد سطح است؟
اول از همه، باید مطمئن بشیم سوال درست نوشته شده و چیزی کم نداره. سوال به نظر منطقی میاد. یه راس مربع رو داریم و معادله یکی از ضلع‌هاش رو هم داریم. می‌خوایم مساحت مربع رو پیدا کنیم.
فرض کنیم شما هیچ اطلاعاتی از ریاضیات ندارید. ما همه چیز رو از اول توضیح میدیم.
تصور کنید یه خونه دارید که شکلش مربعه. شما می‌دونید یکی از گوشه‌های این خونه کجاست (این همون راسی هست که بهمون دادن) و می‌دونید یکی از دیوارهای خونه چطوریه (این همون معادله‌ی ضلع هست). حالا می‌خوایم بفهمیم کل خونه چقدر فضا داره، یعنی مساحتش چقدره.
معادله‌ی ضلع به ما داده شده: 2y + 3x = -4. این معادله یه خط رو نشون میده. شیب این خط به ما میگه که این خط چقدر کج شده. اگه شیب مثبت باشه، خط به سمت بالا میره و اگه منفی باشه، به سمت پایین میره.
برای پیدا کردن شیب، باید معادله رو به شکل y = mx + b دربیاریم. توی این معادله، m همون شیب هست و b نشون میده که خط از کجا از محور y رد میشه.
2y + 3x = -4
اول، 3x رو از دو طرف معادله کم می‌کنیم:
2y = -3x - 4
حالا، دو طرف معادله رو به 2 تقسیم می‌کنیم:
y = (-3/2)x - 2
خب، حالا شیب خط رو پیدا کردیم. شیب برابر با -3/2 هست. این یعنی اگه یک واحد به سمت راست بریم، 3/2 واحد به سمت پایین میریم.
میدونیم که اضلاع مربع با هم عمود هستند. یعنی زاویه‌ی بینشون 90 درجه است. حالا باید شیب ضلع‌هایی که با ضلع داده شده عمود هستند رو پیدا کنیم.
اگه دو خط عمود بر هم باشند، حاصل ضرب شیب‌هاشون برابر با -1 میشه. پس:
m1 * m2 = -1
که m1 شیب ضلع اول و m2 شیب ضلع دوم هست. ما m1 رو داریم (-3/2)، پس:
(-3/2) * m2 = -1
برای پیدا کردن m2، دو طرف معادله رو به -3/2 تقسیم می‌کنیم:
m2 = 2/3
پس شیب ضلع‌های عمود بر ضلع داده شده برابر با 2/3 هست.
حالا که شیب ضلع عمود رو داریم، باید معادله‌اش رو پیدا کنیم. ما میدونیم که این ضلع از راس (3, -2) رد میشه. پس میتونیم از فرمول نقطه‌شیب استفاده کنیم:
y - y1 = m(x - x1)
که (x1, y1) مختصات راس هست و m شیب هست. پس:
y - (-2) = (2/3)(x - 3)
y + 2 = (2/3)x - 2
حالا، 2 رو از دو طرف معادله کم می‌کنیم:
y = (2/3)x - 4
برای پیدا کردن مساحت مربع، باید طول ضلعش رو بدونیم. ما میدونیم که ضلع داده شده و ضلع عمود بر اون با هم زاویه‌ی 90 درجه دارن. پس میتونیم از فرمول فاصله‌ی بین دو نقطه استفاده کنیم تا طول ضلع رو پیدا کنیم.
فاصله بین دو نقطه (x1, y1) و (x2, y2) برابر است با:
√((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)
ما مختصات راس (3, -2) و نقطه‌ای روی ضلع عمود رو داریم. برای پیدا کردن نقطه‌ای روی ضلع عمود، میتونیم یه مقدار دلخواه برای x انتخاب کنیم و y رو حساب کنیم. مثلاً اگه x = 0 باشه:
y = (2/3)(0) - 4 = -4
پس نقطه (0, -4) روی ضلع عمود قرار داره. حالا میتونیم فاصله بین دو نقطه (3, -2) و (0, -4) رو حساب کنیم:
√((0 - 3)^2 + (-4 - (-2))^2) = √((-3)^2 + (-2)^2) = √(9 + 4) = √13
پس طول ضلع مربع برابر با √13 هست.
مساحت مربع برابر است با طول ضلع به توان دو:
مساحت = (√13)^2 = 13
پس مساحت مربع برابر با 13 واحد سطح هست.
فرض کنید شما یه کاغذ دارید و می‌خواید یه مربع روش بکشید. یکی از گوشه‌های مربع رو مشخص کردید و یه ضلعش رو هم با یه خط کشیدید. حالا می‌خواید بدونید این مربع چقدر جا داره.
اول، باید ببینید شیب اون خط چقدره. شیب به ما میگه که خط چقدر کج شده. اگه خط خیلی تند باشه، شیبش بزرگتره و اگه خط خیلی آروم باشه، شیبش کوچکتره.
بعد، باید یه خط دیگه بکشید که با خط اول عمود باشه. یعنی زاویه‌اش 90 درجه باشه. برای این کار، شیب خط دوم رو باید برعکس شیب خط اول کنید و علامت رو عوض کنید. مثلاً اگه شیب خط اول 2 باشه، شیب خط دوم میشه -1/2.
حالا که دو تا خط دارید که با هم عمود هستند، می‌تونید طول ضلع مربع رو پیدا کنید. برای این کار، از فرمول فاصله‌ی بین دو نقطه استفاده می‌کنید. این فرمول به شما میگه که چقدر باید از یه نقطه به نقطه‌ی دیگه برید تا به اونجا برسید.
در نهایت، برای پیدا کردن مساحت مربع، طول ضلع رو به توان دو می‌رسونید. یعنی طول ضلع رو در خودش ضرب می‌کنید. این به شما میگه که چقدر جا توی مربع هست.